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Bose 901のイコライザー、2段目その8

次にY1の方を考えます。

 

clip_image002[10]

 

に対して、その7のときと同様に、

clip_image004[10]することにすれば、

clip_image006[10]

第一項の分母子をR2倍して、
clip_image008[10]

clip_image010[10]

式(2-8-1)の後半のみに注目すると、

アドミタンス

clip_image012[10]

並列にした、回路のアドミタンスになります。

また、Y11,Y12をインピーダンスZ11,Z12で考えると

clip_image014[10]

です。

式(2-8-3)の第一式のインピーダンスに相当する回路は、

 

clip_image015[10]

 

 

で、第2式に相当する回路は、単純に

 

clip_image016[10]

 

ですから、再びアドミタンスをベースに考えると、式(2-8-2)から、

 

clip_image017[10]

 

上記の回路のアドミタンスY1'は、

clip_image019[10]

 

となります。式(2-1-8)から、この回路のアドミタンスY1'は、

clip_image021[10]

となります。

R2(B-1)の部分が合ってませんが、sに対しては定数なので、あとで考えます。

 

 

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Bose 901のイコライザー、2段目その9

あとは、これに適当に定数を当てはめれば、よいのですが、その7、その8の最後で帳尻合わせが必要と書きました。その7、その8で得られた回路を、OpAmpの反転増幅回路にそのまま当てはめると、

 

clip_image001

 

「帳尻あわせ」は、sに対して定数なので、結局のところ裸ゲインにかかわる問題です。したがって、1KHzあたりでのゲインを0dB前後にすればいいのです。すなわち式(2--1)の

clip_image002

の項を概ね1(=0dB)になるように、R2,R4を選択します。CRとも現実的な値になるように何回か試行錯誤した結果、以下の様な回路になりました。

 

clip_image003

 

 

OpAmpが変わってますが他意はありません。例によって、オリジナルの回路との偏差をみます。

 

clip_image004

 

 

偏差は1.7dB以内に収まっていますので、位相も一致ということでこれを2段目のフィルタの正解とします。

Bose 901のイコライザー、2段目その7

一応前回までで、性能的には満足の行く回路になりましたが、オリジナルの回路とは位相が反転してしまっているので、もう少し粘ってみることにします。

今度はOpAmpの反転増幅器を考えます。

 

clip_image001[8]

 

通常はインピーダンスをベースに考えますが、片側だけアドミタンスにしてみます。

この時、

clip_image003[8]

ですから、

clip_image005[8]

となります。これと

clip_image007[8]
clip_image009[8]

を比較して回路を作っていきます。式(2-6)の前半をZ1, 後半をY1と割り当てることを考えます。

 

Z1の方。

 

2段めその4ほぼ同じに考えると、

clip_image011[8]することにすれば、

clip_image013[8]
第一項の分母子をR4で割って、
clip_image015[8]

clip_image017[8]

式(2-7-3)の中の、

clip_image019[8]

式(2-7-4)の部分は、C1R1を並列にした下記の回路のインピーダンスになります。

 

clip_image020[8]

 

 

clip_image022[8]
で括弧内のみ注目すると、

 

clip_image023[8]

 

上図のような回路のインピーダンスが、

clip_image025[8]

となります。

clip_image027[8]

の部分が合ってませんが、これは、sに対しては定数なのであとで帳尻をつけることにします。

 

Bose 901のイコライザー、2段目その6

ではここまでのまとめとして、回路は

 

clip_image001

 

となります。

性能評価を行うために、LTSpiceでシミュレーションしてみます。元の回路との偏差を表示してみると、

 

clip_image002

 

 

こんな感じです。ちょっと、高域側の偏差が大きめですね。R4E24系列で手に入る、18KΩに変更してみます。

 

clip_image003

 

同様にシミュレーションでオリジナルの回路との偏差を見てみると、

 

clip_image004

 

偏差は約1.15dBとなりましたので、とりあえず、これを採用します。ただ、位相がオリジナルの回路の特性とは逆転していることに注意してください。

 

 

Bose 901のイコライザー、2段目その5

のこっている、ローブーストフィルターです。伝達関数は、

clip_image002[4]

でした。これもOpAmpの非反転増幅回路に割り当てるのですが、その4でやったやり方そのままだと、sを含む項がよろしくありません。そこで、回路をアドミタンスで考えます。

 

clip_image003[4]

 

その4でやったのと同様にこの回路の伝達関数を求めると、

clip_image005[4]

これと、式(2-2)を考えていきます。コンデンサCのアドミタンスはsC,抵抗

Rのアドミタンスは1/Rですから、Y1は適当な抵抗R1に対して1/R1,Y2C1,R2を並列した場合、sC1+1/R2となります。(アドミタンスで考えていますので、並列にした時に和になることに注意して下さい。)

これを式(2-5-1)に適用して、

clip_image007[4]

これを、式(2-2)と相似形に変形していきます。第一項の分母子をR2倍して、

clip_image009[4]

 

したがって、

clip_image011[4]

となります。

Tlpf1.173msA3.273でしたから、C10.15uFとすると、R27.5kΩ、R13.3kΩと求まります。

回路としては以下のようになります。

 

 

Bose 901のイコライザー2段目、その2

901-2-2-1

(クリックして拡大)

 

前回のフィルタ(緑色)の特性を、ローブーストフィルタ()とハイブーストフィルタ(水色)としてでっち上げていきます。ここでは、見やすいように、意図的にローブーストフィルタとハイブーストフィルタのゲインを抑えています。また位相も1KHz付近で0度に近くなるように反転させています。

 

それにしても、ハイブーストフィルタは20KHzあたりのゲインが20dB以上あります。これでは、一般的なアナログのグラフィックイコライザではちょっと無理ですね…。また、イコライザーのSN比の悪さもうなずけるものがあります。ローノイズのOpAmpが必須でしょう。

 

さて、各ブーストフィルタは一次のフィルタと仮定してしまいます。

基本となる一次のローパスフィルタの伝達関数は、遮断周波数の時定数をclip_image002[8]としたとき、


clip_image004[8]

 

ですから、ブースト量をclip_image006[8]

clip_image008[8]

 

と書けるはずです。というのも、clip_image010[8] とした場合、以下が成り立つのは自明です。

 

clip_image012[4]  (2-3-1)

clip_image014[4]  (2-3-2)

 

 

同様に、ハイブーストフィルタは、基本の一次ハイパスフィルタは遮断周波数の(時定数をclip_image016[4]とした時に

clip_image018[4]  (2-4)

 

となります。これを出発点として、ブースト量を B-1 )とすると、

 

clip_image020[4]  (2-5)

 

となります。

従って、2段目のフィルタの伝達式は、

 

clip_image022[4]

 

となりこれが求める回路の伝達関数になるはずです。

 

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Bose 901のイコライザー、2段目その4

 

2014/6/11 追記 記事がおかしかったのを習性

先にはハイブーストフィルタを片付けましょう。

clip_image002

 

でした。

OpAmpによる非反転増幅回路を考えます。

 

clip_image003

 

普通教科書に出てくるときは、Z1=R1Z2=R2などとして、直流増幅回路として考えますが、別にインピーダンスとして考えてもいいわけです。この回路の伝達関数は、伝達関数の定義から、

clip_image005 clip_image007

ですが、OpAmpのイマジナリーショートから、

clip_image009

です。

(2-4-2)を変形すると、

clip_image011

両辺を、V(In)で割れば、

clip_image013

を得ます。

コンデンサCのインピーダンスは、Zc= 1/sC, 抵抗Rのインピーダンスは、Zr=Rですから、

Z1コンデンサC2と抵抗R3の直列とするとZ1=1/sC + R,

Z2を抵抗R4とすると、式(2-4-4)は、

clip_image015

と書ける事になります。これを、式(2-4-1)と相似形に変形していきます。右辺第1項の分数の分母子をR3で割ると、

clip_image017

 

です。これで同じ形になりました。

 

clip_image019

clip_image021

 

となります。式が2つで、変数が3つですから、どれか先に決めてやることで、他の変数が求まります。

C2=6800pF

とすると、

clip_image0236.92uS

ですから、式(2-4-8)から、

R31.02KΩ

(2-4-9)

B19.95ですから

R418.95KΩ

となります。

 

 

 

clip_image024

 

回路としてはこんな感じです。

 

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Bose 901のイコライザー、2段目その3

901-2-3-2

前回

clip_image002[4]

で、clip_image002[6] をそれぞれ求めれば、フィルタの特性は求まります。グラフからなんとなく読み取ると、

A10.3dB (真数で 3.273)

B26dB(真数で≒19.95)

Flpf140Hz (時定数で、Tlpf1.173ms)

Fhpf=23.0KHz  (時定数で、Tlpf6.92uS)

となります。

 clip_image002[10]

 

に注意して下さい。

この値をもとに、LTSpiceで下図のような、伝達関数を持つ電圧源をつくります。

 

clip_image007[4]

 

 

この結果をプロットしてみます(下図)

 

clip_image008[4]

 

 

緑がオリジナルの回路、赤がでっち上げた伝達関数です。裸ゲインが合ってないので、よくわかりにくいですが悪くはなさそうです。位相で見るほうがわかりやすいですかね?フィルタの時定数は、低域側はもう少し小さい値、高域側はもう少し高い値のようです。

わかりやすいように、偏差だけプロットしなおしてみます。

 

 

clip_image009[4]

 

10Hz100KHz0.5 dB以内に収まっていますので、悪く無いと思います。

それと、その2で仮定した回路の形、すなわち1次のローブーストフィルタ・ハイブーストフィルタといういう仮定は正しかったと判断していいでしょう。

 

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まとめ

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