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Bose901のイコライザー1段目その6

前回の続きですが、$V_p,V_f$を消去するより、$V_p,V_{out1}$を消去するほうが計算量が少なそうなので、方針を変更します。
式(1-22)の両辺を$(Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7})$倍して、

\begin{align*}
& V_p \cdot (Y_{C_2}+Y_{R7})(Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7}) \\
=&V_f \cdot (Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7}) Y_{R_7} + V_{in} \cdot Y_{C_2} \cdot (Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7}) \tag{1-22'}

\end{align*}

式(1-21)をこれに代入すると
\begin{align*}
& V_p \cdot (Y_{C_2}+Y_{R7})(Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7}) \\
=& (V_{in} \cdot Y_{R_6} + V_{out1} \cdot Y_{C_1} + V_p \cdot Y_{R_7})Y_{R_7} \\
& + V_{in} \cdot Y_{C_2} \cdot(Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7} ) \tag{1-25}\\
\end{align*}

式(1-23)をこれに代入すると
\begin{align*}
& V_p \cdot (Y_{C_2}+Y_{R7})(Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7}) \\
=& (V_{in} \cdot Y_{R_6} + V_p \cdot K \cdot Y_{C_1} + V_p \cdot Y_{R_7})Y_{R_7} \\
& + V_{in} \cdot Y_{C_2} \cdot(Y_{C_1}+Y_{R_6}+Y_{R_7} ) \tag{1-26}\\
\end{align*}

$V_p$の項を左辺へ、$V_{in}$を左辺へ集めます。
\begin{align*}
&V_p \cdot \{(Y_{C_2} + Y_{R_7})(Y_{C_1}+Y_{R_6} + Y_{R_7}) -(K \cdot Y_{C_1} + Y_{R_7}) \cdot Y_{R_7} \} \\
=& Y_{in} \cdot \{ Y_{R_6} \cdot Y_{R_7} + Y_{C_2} \cdot (Y_{C_1}+Y_{R_6} + Y_{R_7}) \} \tag{1-27}
\end{align*}

よって、
\begin{align*}

\frac{V_p}{V_{in}} &= \frac { Y_{R_6} \cdot Y_{R_7} + Y_{C_2} \cdot (Y_{C_1}+Y_{R_6} + Y_{R_7}) } {(Y_{C_2} + Y_{R_7})(Y_{C_1}+Y_{R_6} + Y_{R_7}) -(K \cdot Y_{C_1} + Y_{R_7}) \cdot Y_{R_7} } \\ \\
&= \frac {Y_{C_1} \cdot Y_{C_2} + Y_{C_2} \cdot (Y_{R_6}+Y_{R_7})+Y_{R_6} \cdot Y_{R_7} } { Y_{C_1} \cdot Y_{C_2} -Y_{C_1} \cdot(K-1)Y_{R_7} + Y_{C_2} \cdot (Y_{R_6}+Y_{R_7})+Y_{R_6} \cdot Y_{R_7} } \\ \\
&= 1+ \frac {Y_{C_1} \cdot(K-1)Y_{R_7} } { Y_{C_1} \cdot Y_{C_2} -Y_{C_1} \cdot(K-1)Y_{R_7} + Y_{C_2} \cdot (Y_{R_6}+Y_{R_7})+Y_{R_6} \cdot Y_{R_7} } \\
\end{align*}

これに、式(1-20)を代入して
\begin{align*}

\frac{V_p}{V_{in}}
&= 1 + \frac{s \cdot C_1 \cdot (K-1) \frac{1}{R_7}}
{ s^2 \cdot C_1 \cdot C_2 - s \cdot \frac{C_1 \cdot(K-1)}{R_7}
+s \cdot C_2 \cdot( \frac{1}{R_6} + \frac{1}{R_7}) + \frac{1}{R_6 \cdot R_7} } \\ \\
&= 1 + \frac{s \cdot \frac {C_1}{R_7} \cdot (K-1) }
{ s^2 \cdot C_1 \cdot C_2
+ s \cdot \frac{ C_2 \cdot (R_6+R_7) - C_1 \cdot \cdot R_6 \cdot(K-1)}{R_6 \cdot R_7}
+ \frac{1}{R_6 \cdot R_7} } \\

\end{align*}

第2項の分母分子を$C_1 \cdot C_2$で割って、
\begin{align*}

\frac{V_p}{V_{in}}
&= 1 + \frac{s \cdot \frac {K-1}{C_2 \cdot R_7}}
{ s^2
+ s \cdot \frac{ C_2 \cdot (R_6+R_7) - C_1 \cdot \cdot R_6 \cdot(K-1)}{C_1 \cdot C_2 \cdot R_6 \cdot R_7}
+ \frac{1}{C_1 \cdot C_2 \cdot R_6 \cdot R_7} } \tag{1-28}

\end{align*}

よって、第一段目のフィルタの伝達関数$H_{stage1}(s)$は、
\begin{align*}
H_{stage1}(s) &= \frac{V_{out1}}{V_{in}} \\
&= K \cdot (1 + \frac{s \cdot \frac {K-1}{C_2 \cdot R_7}}
{ s^2
+ s \cdot \frac{ C_2 \cdot (R_6+R_7) - C_1 \cdot R_6 \cdot(K-1)}{C_1 \cdot C_2 \cdot R_6 \cdot R_7}
+ \frac{1}{C_1 \cdot C_2 \cdot R_6 \cdot R_7} }
) \tag{1-29}
\end{align*}

となります。

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まとめ【Bose901のイコライザ】

前回の続きですが、$V_p,V_f$を消去するより、$V_p,V_{out1}$を消去するほうが計算量が少なそうなので、方

  • 2012/11/22(木) 00:14:47 |
  • まっとめBLOG速報

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